Basamak Analizi

[E-Tardis]

Basamak Analizi

1) abcdef rakamları farklı 6 basamaklı bir sayıdır.
abcdef.1=abcdef
abcdef.2=cdefab
abcdef.3=bcdefa
abcdef.4=efabcd
abcdef.5=fabcde
abcdef.6=defabc

olduğuna göre c kaçtır?

A)1 B)2 C)4 D)5 D)7


abcdef=x olarak kabul edilirse 6x ifadesi 6 basamaklı olduğu için a=1 olarak bulunur. 2 olsaydı 6 basamaklı olmazdı.

3x ifadesinde son basamak 1 olduğundan f=7 veya f=1 olarak bulunur. Rakamları farklı olduğundan f=7'dir.

6x ifadesinde f=7 eşitliğini kullanırsak son basamağı 2 olmalı ve buradan c=2 olarak bulunur. 

Bulduğumuz f değeri x sayısının son basamağı olduğundan bütün rakamlarını aynı yöntemle bulabiliriz.



----------------------------------------------------------------------------------------



2) a,b,c,d birer rakam olmak üzere, dört basamaklı A=(abab) ve B=(cdcd) sayıları veriliyor. Buna göre A+B toplamını tamkare yapan (A,B) ikilileri için a.b.c.d çarpımı en çok kaçtır?

A)283 B)420 C)568 D)600 D)750


A=(abab)=1010a+101b=101(10a+b)
B=(cdcd)=1010c+101d=101(10c+d)

A+B=101(ab+cd)

Burada A+B ifadesinin tamkare olabilmesi için asal çarpanlarına ayrıldığında tüm çarpanların kuvvetlerinin 2 ve katı olması gerekir. 101 zaten asal çarpanları arasında ancak kuvveti 1. Bu yüzden (ab+cd) içerisinde en az bir tane 101 çarpanı olmalı. Bunun yanında (ab+cd) ifadesine baktığımızda bu toplamın en fazla 198 olabileceğini görüyoruz. Bu sebeple 101 çarpanın yanına en küçük tam kare olan 2² çarpanını eklediğimizde bile bu toplamı aşıyor. Bu sebepten dolayı (ab+cd) ifadesi 101'e eşittir.

Bu iki toplamı oluşturan rakamları birbirine en yakın tutarsak çarpımları o kadar büyük olacaktır. (55,46) ikilisinde rakamlar birbirine en yakın ve çarpımları en büyük olacaktır.

5.5.4.6=600 olacaktır.


------------------------------------------------------------------------------------------------


3) ABC8 ve 2ABC dört basamaklı sayılardır. ABC8=3.(2ABC) olduğuna göre A+B+C kaça eşittir?

A)17 B)18 C)19 D)20 D)21


ABC8=3.(2ABC)
1000A+100B+10C+8=3(2000+100A+10B+C)
1000A+100B+10C+8=6000+300A+30B+3C
700A+70B+7C=5992
100A+10B+C=856
ABC=856
A=8, B=5, C=6 ve toplamları 19


-------------------------------------------------------------------------------------------


4) Bir bilgisayar sayma sayılarını tarıyor. Örneğin
12345678910111213 rakamlarını tarayınca 17 rakam taramış oluyor. Buna göre bilgisayar ilk 2010 rakamı taradığında taradığı en son sayma sayısı kaçtır?

A)695 B)697 C)705 D)706 D)707


Soruya sınırları belirleyerek başlamak daha sağlıklı olacak gibi.

(1,2,...,9) - 9 tane
(10,11,...,99) - 90.2=180
(100,101,...999) - 900.3=2700

Görüldüğü gibi 1 basamaklıları taradığında toplam 9, iki basamaklıları taradığında 180 ve üç basamaklıları taradığında 2700 rakam taramış oluyor. Yani bizim aradığımız sayı 3 basamaklı bir sayı. (Şıklardan zaten anlaşılıyor.)

Bu sebeple bizim sayımız x olsun.

(1,2,...,9) - 9 tane
(10,11,...,99) - 90.2=180
(100,101,...x) - (x-99).3=3x-297

olacak şekilde toplamda (3x-297)+180+9=3x-108=2010 ve buradan x sayısı 706 olarak bulunur.


-----------------------------------------------------------------------------------------


5) A=333...3 (15 basamaklı) olduğuna göre 27A² sayısı kaç basamaklıdır?
A)16 B)19 C)21 D)29 D)31


Öncelikla A sayısını 3 ile çarpalım.

A=333...3 (15 basamaklı)
3A=999...9 (15 basamaklı)

Şimdi 3A'nın karesini alalım.

3A=999...9 (15 basamaklı)
9A²=(999...9)²
9A²=(1015-1)²
9A²=1030-2.1015+1
27A²=3.1030-6.1015+3

3000...000 (31 basamak) - 600...000(16 basamak) +3
= 2999...400...3 (31 basamaklı)